STATISTIKA MATEMATIKA

A.   Permutasi dan Kombinasi

1.     Faktorial

Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n faktorial".

n! = n (n-1) (n-2)…. 3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

Berikut ini adalah faktorial 1 sampai dengan faktorial 10.

Catatan: hasil dari faktorial 0 adalah 1 (0! = 1).(0!=1). Hasil ini dapat diketahui dari pembuktiannya di artikel: Mengapa 0 Faktorial Sama Dengan 1.

Contoh :

  

2.      Permutasi

Permutasi merupakan istilah yang menunjukkan jumlah susunan objek dalam suatu himpunan dengan melihat urutan. Artinya, dalam menyusun suatu objek dalam himpunan, kamu harus mempertimbangkan urutan objek tersebut dan tidak boleh asal-asalan dalam meletakkannya

Jenis-jenis Permutasi

Secara umum, permutasi dibagi menjadi lima jenis, yaitu sebagai berikut.

1)      Permutasi n Unsur yang Berbeda

Pada permutasi jenis ini, diharuskan untuk menentukan banyaknya cara menyusun n unsur dengan melihat urutan. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal :

Tiga buah buku, yaitu Ekonomi (E), Geografi (G), dan Sejarah (S) akan disusun secara berjajar. Tentukan banyaknya cara untuk menyusun tiga buku tersebut!

Pembahasan:

Berikut ini akan dijabarkan kemungkinan susunan tiga buah buku pada soal.

E-G-S        E-S-G

G-E-S        G-S-E

S-E-G        S-G-E

Berdasarkan susunan di atas, dapat disimpulkan bahwa banyaknya cara untuk menyusun tiga buah buku secara berjajar adalah 6.

Secara matematis, banyaknya cara untuk menyusun tiga buah buku adalah 3! = 3 x 2 x 1 = 6.

2)      Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n.

Permutasi jenis ini mengharuskan untuk lebih teliti karena hal yang diminta tidak lagi sesederhana seperti permutasi n unsur berbeda. Permutasi r dari n unsur ini, urutan tetap diperhatikan tetapi unsurnya tidak boleh diulang. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal

Suatu Komunitas Karang Taruna akan memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Tentukan banyaknya susunan yang bisa mereka pilih!

Pembahasan:

Diketahui:

r = banyaknya pengurus = 3 (ketua, sekretaris, dan bendahara)

n = banyaknya anggota = 20

Ditanyakan: banyaknya susunan yang mungkin?

Jawab:

Berdasarkan soal di atas, sudah bisa menentukan berapa r dan n nya?

Selanjutnya, gunakan persamaan permutasi berikut untuk mencari banyaknya susunan yang mungkin.

         

Jadi, banyaknya susunan untuk memilih ketua, sekretaris, dan bendahara adalah 6.840.

3)      Permutasi Siklis (Melingkar)

Permutasi siklis digunakan untuk menentukan banyaknya cara menyusun n unsur berbeda dalam kondisi melingkar. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal :

Empat orang anak, yaitu Andi, Boni, Cindi, dan Dodi akan duduk secara melingkar. Tentukan banyaknya urutan duduk yang mungkin!

Pembahasan:

Berdasarkan soal diketahui, n= 4 (Andi (A), Boni (B), Cindi (C), dan Dodi(D))

Untuk menentukan banyaknya urutan duduk yang mungkin, bisa menggunakan persamaan permutasi siklis, yaitu sebagai berikut.

       

Jadi, banyaknya urutan duduk mereka berempat adalah 6.

4)      Permutasi dengan Unsur yang Sama

Permutasi dengan unsur yang sama memiliki ciri khas di dalamnya, yaitu unsur atau elemen yang sama tidak boleh digunakan lebih dari satu kali. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal

Tentukan banyaknya kata yang bisa disusun menggunakan kata “FISIKA” dengan ketentuan, unsur yang sama tidak boleh muncul lebih dari satu kali!

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, terdapat kata “FISIKA”.

harus menentukan r beserta jumlahnya.

 r₁= I = 2

Selanjutnya, gunakan persamaan permutasi unsur yang sama untuk menentukan banyaknya cara yang bisa digunakan.

Jadi, banyaknya cara yang bisa digunakan untuk menyusun kata “FISIKA” adalah 360.

5)      Permutasi Berulang

Pada permutasi berulang, urutan tetap diperhatikan, tetapi unsur/elemennya boleh diulang. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

     

Contoh soal

Tentukan banyaknya susunan 3 huruf dari kata “MONSTER”!

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, diketahui:

n = 7

r = 3

Untuk menentukan banyaknya susunan 3 huruf dari kata “MONSTER” gunakan persamaan berikut.

     

Diperoleh

Jadi, banyaknya cara untuk menyusun 3 huruf dari kata “MONSTER” adalah 343.

3.      Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf  a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb  tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

Contoh Soal:

1)      Dari 5 pria dan 7 wanita dibentuk komite yang terdiri dari 2 pria dan 3 wanita. Ada berapa macam cara yang berbeda dapat dibentuk apabila:

·         setiap pria dan wanita itu dapat dipilih;

·         salah seorang pria harus terpilih;

·         dua orang pria tidak boleh menjadi anggota komite?

Pembahasan Contoh Soal

a.       Akan dipilih 2 dari 5 pria dan 3 dari 7 wanita. Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah 5C2 × 7C3 = 10 × 35 = 350 cara.

b.      Terdapat 5 pria dan seorang pria harus terpilih, sehingga sisanya 4 pria dipilih untuk diposisikan pada 1 posisi di komite (satu posisi sudah ditempati pria yang terpilih). Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah 4C1 × 7C3 = 4 × 35 = 140 cara.Terdapat 5 pria dan 2 orang pria tidak boleh menjadi anggota komite.

c.       Sehingga pilihan/calon komite dari pria tinggal 3 orang untuk diposisikan pada 2 posisi di komite. Sehingga banyaknya cara yang mungkin adalah 3C2 × 7C3 = 3 × 35 = 105 cara.

2)      Berapa macam kombinasi yang dapat dibuat bila panitia seminar yang terdiri atas 4 pria dan 3 wanita dibentuk dari 7 pria dan 6 wanita yang dicalonkan ?

Jawab:

a.       Panitia akan memilih 4 dari 7 orang oria dengan kombinasi 

b.      Panitia akan memilih 3 wanita dari 6 orang wanita dengan kombinasi

Jadi, banyaknya kombinasi yang membentuk panitia seminar adala 35 x  20 =700 cara

B.     Peluang (Probabilitas)

Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

Secara lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :

“Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak”.

      

1)   Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

a.  Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

b.   Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

c.   Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

2)   Manfaat Probabilitas dalam Penelitian

a.    Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

b.  Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

c.    Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

3)   Pendekatan Peluang (Probabilitas)

a.    Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Atau

Ket :

P(A) : Peluang

n(A) : Peluang kejadian A

n(N) : Peluang seluruh kejadian

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jikayang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:

b.      Pendekatan Relatif

Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:

c.       Pendekatan Subjektif

Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan daralm derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleg dan berdasarkan keyakinan.

Contoh:

Peluang untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

Jawaban :

C.     Peluang kejadian bersyarat

Peluang kejadian bersyarat adalah peluang kejadian bergantung kepada peluang kejadian yang lain.

Peluang kejadian A dengan syarat telah muncul kejadian B adalah

Sedangkan peluang kejadian B dengan syarat telah muncul kejadian A adalah

Contoh :

1.      Dadu merah dan biru dilempar sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya bilangan 2 untuk dadu merah kalau telah muncul jumlah mata dadu merah dan biru kurang dari 6 ?

Jawab:

perhatikan gambar

Ruang contoh S = {(1,1),(1,2), … ,(6,5),(6,6} ⇒ n(S)=36

Kejadian A munculnya bilangan 2 untuk dadu merah, maka

A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ⇒n(A)=6 ⇒P(A)=6/36=1/6

Kejadian B munculnya jumlah dadu merah dan biru < 6, maka

B = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}⇒ n(B)=10 ⇒P(B)=10/36

Kejadian A∩B= {(2,1),(2,2),(2,3)} ⇒n(A∩B) = 3 ⇒ P(A∩B) = 3/36

Peluang munculnya bilangan 2 untuk dadu merah kalau telah muncul jumlah mata dadu merah dan biru kurang dari 6 adalah

Jadi, peluangnya P(A|B)=3/10

2.      Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan genap kalau sudah diketahui muncul bilangan prima?

Jawab:

Ruang contoh S ={1,2,3,4,5,6} ⇒ n(S) = 6

Kejadian A adalah munculnya bilangan genap, maka A = {2, 4, 6} ⇒ n(A) = 3 ⇒ P(A)=3/6=1/2

Kejadian B adalah munculnya bilangan prima, maka B = {2, 3, 5} ⇒ n(B) = 3 ⇒ P(B)=3/6=1/2 

Kejadian A∩B= {2} ⇒ n(A∩B) = 1 ⇒ P(A∩B)=1/6

peluang munculnya bilangan genap kalau sudah diketahui muncul bilangan prima adalah

Jadi, peluangnya P(A|B)=1/3.

D.    Teorema Bayes

Misalkan kawan Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.

Misalkan:

·         W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.

·         L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang

·         M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya peluang kawan Anda berbicara dengan wanita,

P(W) = 0,5

Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai:

P(L|W) = 0,75

Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:

P(L|M) = 0,3

Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L). Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

 Di sini kita menggunakan aturan peluang total. Dengan memasukkan nilai-nilai peluang yang diketahui ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan peluang seseorang itu wanita bila diketahui dia berambut panjang adalah 0,714. Angka ini sesuai dengan intuisi awal kita, bahwa peluang kawan kita itu bercakap-cakap dengan wanita meningkat.

Dari contoh di atas kita bisa merumuskan teorema Bayes secara umum.

Teorema bayes yang hanay dibatasi oleh dua buah kejadian dapat diperluas untuk kejadian n buah. Teorema bayes untuk kejadian bersyarat dengan n kejadian adalah sebagai berikut:

Teorema bayes lebih lengkap dapat dinyatakan dengan menyamakan pembilang pada kedua persamaan (1) dan (2).